파이겐바움 상수

3. 정의

파이겐바움 상수는 주기 배가 분기에서 나타나는 두 가지 수학 상수이다. 제1 파이겐바움 상수(δ)는 분기 간격의 비율과 관련된 상수이고, 제2 파이겐바움 상수(α)는 분기 폭의 비율과 관련된 상수이다.

• 제1 파이겐바움 상수 (δ):

• 제2 파이겐바움 상수 (α):

• 제1 파이겐바움 상수 ($\backslash delta\_z$):

• 제2 파이겐바움 상수 ($\backslash alpha\_z$):

3. 1. 제1 파이겐바움 상수 (δ)

다음과 같은 차분 방정식의 μ 변화에 따른 분기에서,

:$x\_\{n+1\}=f(x\_\{n\})=\; 1-\backslash mu\; |x\_\{n\}|^z,\backslash qquad\; (z>0,\backslash \; n=1,\backslash \; 2,\backslash \; 3,\backslash \; \backslash cdots)$

첫 번째 파이겐바움 상수 δ는,

:$\backslash delta\_z\; =\; \backslash lim\_\{i\backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; \backslash dfrac\{\backslash mu\_\{i\}\; -\; \backslash mu\_\{i-1\}\}\{\backslash mu\_\{i+1\}\; -\; \backslash mu\_\{i\}\}$

로 주어진다^[19]。위의 차분 방정식에서는 주기 배가 분기가 발생하며, i번째 주기 배가 분기마다 x_n의 거동은 2ⁱ 주기 진동으로 변화한다^[19]。 여기서, μ_i는 i번째 주기 배가 분기점에서의 μ의 값이다.

3. 2. 제2 파이겐바움 상수 (α)

4. 분기 다이어그램과의 관계

파이겐바움 상수는 분기 다이어그램에서 연속적인 분기 간격 사이의 거리 비의 극한값으로 나타난다.^[1]

분기 다이어그램에서 분기 간격 $L$의 비 $\backslash frac\{L\_n\}\{L\_\{n+1\}\}$는 $n$이 무한대로 갈수록 파이겐바움 상수 $\backslash delta$에 수렴한다.

:$\backslash delta\; =\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{L\_n\}\{L\_\{n+1\}\}\; =\; 4.66920160910299067185320382...$

4. 1. 분기 다이어그램의 구간

5. 비선형 맵의 예

파이겐바움 상수를 나타내는 비선형 맵으로는 $f(x)=a-x^2$, $f(x)\; =\; a\; x\; (1\; -\; x)$, 프랙탈 $f(x)\; =\; x^2\; +\; b$ 등이 있다.

$f(x)\; =\; a-x^2$에서 a는 분기 매개변수, x는 변수이다. 주기가 두 배가 되는 a의 값은 아래 표와 같이 나타난다.^[7]

마지막 열의 비율은 첫 번째 파이겐바움 상수로 수렴한다. 로지스틱 맵 $f(x)\; =\; ax(1-x)$에서도 동일한 숫자가 나타난다.^[8]

5. 1. 로지스틱 맵

마지막 열의 비율은 첫 번째 파이겐바움 상수로 수렴한다.

5. 2. 다른 비선형 맵

• $f(x)=a-x^2$
• $f(x)\; =\; a\; x\; (1\; -\; x)$
• 프랙탈 $f(x)\; =\; x^2\; +\; b$

마지막 열의 비율은 첫 번째 파이겐바움 상수로 수렴한다. 동일한 숫자는 실수 매개변수 a와 변수 x를 갖는 로지스틱 맵 $f(x)\; =\; ax(1-x)$에도 나타난다. 다음은 분기 값을 표로 정리한 것이다.^[8]

6. 프랙탈과의 관계

파이겐바움 상수는 프랙탈 구조에서도 나타난다.

복소 이차 다항식

:$f(z)\; =\; z^2\; +\; c$

의 만델브로 집합에서 파이겐바움 상수는 복소 평면에서 실수선상의 연속적인 원들의 지름 사이의 극한 비율이다. 분기 매개변수는 주기 $2^n$ 구성 요소의 근 지점인데, 이 계열은 '''파이겐바움 점''' $c$ = −1.401155......로 수렴한다.

분기 이론에서 파이겐바움 상수는 기하학의 π 및 미적분학의 e와 유사하게 다른 맵에서도 이 비율을 재현한다.

6. 1. 만델브로 집합

분기 매개변수는 주기 $2^n$ 구성 요소의 근 지점이다. 이 계열은 '''파이겐바움 점''' $c$ = −1.401155......로 수렴한다. 마지막 열의 비율은 첫 번째 파이겐바움 상수로 수렴한다.

6. 2. 줄리아 집합

7. 성질

두 상수 모두 초월수로 여겨지지만, 아직 수학적 증명되지는 않았다.^[10] 실제로, 두 상수 중 어느 것이라도 무리수라는 증명조차 알려진 바가 없다.

8. 다른 값

로지스틱 맵의 주기 3 창 역시 혼돈으로 가는 주기 배증 경로를 가지며, $r\; =\; 3.854\; 077\; 963\; 591\backslash dots$에서 혼돈에 도달하고, 자체적인 두 개의 파이겐바움 상수 $\backslash delta\; =\; 55.26,\; \backslash alpha\; =\; 9.277$을 갖는다.^[4]

참조

_[1] Youtube The Feigenbaum Constant (4.669) – Numberphile https://www.youtube.[...] 2017-01-16
_[2] 논문 Universality in complex discrete dynamics http://chaosbook.org[...]
_[3] 서적 Chaos: An Introduction to Dynamical Systems Springer
_[4] 논문 Quantitative universality for a class of nonlinear transformations 1978
_[5] 웹사이트 Feigenbaum Constant https://mathworld.wo[...] 2024-10-06
_[6] 서적 Non-Linear Ordinary Differential Equations: Introduction for Scientists and Engineers Oxford University Press
_[7] 서적 Alligood https://books.google[...]
_[8] 서적 Alligood https://books.google[...]
_[9] 서적 Nonlinear Dynamics and Chaos Perseus Books
_[10] 학위논문 Feigenbaum scaling in discrete dynamical systems http://keithbriggs.i[...] University of Melbourne
_[11] 논문 A computer-assisted proof of the Feigenbaum conjectures
_[12] 논문 A complete proof of the Feigenbaum conjectures
_[13] 논문 Feigenbaum-Coullet-Tresser universality and Milnor's Hairiness Conjecture
_[14] 논문 Dependence of universal constants upon multiplication period in nonlinear maps https://link.aps.org[...] 1985-01-01
_[15] 서적 Chaos and nonlinear dynamics: an introduction for scientists and engineers Oxford University Press 2000
_[16] 웹사이트 Calculation of the Feigenbaum Constants http://www.harald-ho[...] 2015-10-25
_[17] 웹사이트 Feigenbaum Constant http://mathworld.wol[...] Wolfram Research 2014-09-20
_[18] 학위논문 Feigenbaum scaling in discrete dynamical systems http://keithbriggs.i[...] University of Melbourne
_[19] 논문 A Precise Calculation of the Feigenbaum Constants http://www.ams.org/j[...] American Mathematical Society 1991-07